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Producto mixto

Producto mixto (triple producto escalar) — es producto escalar del vector a sobre el producto vectorial de los vectores b y c.
Producto mixto de los vectores equivale al determinante del matriz, compuesta de estos vectores.

Propiedades del producto mixto

  • Interpretación geométrica del producto mixto. Módulo del producto vectorial mixto de tres vectores equivale al volumen del paralelepípedo, hecho por estos vectores.
  • a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
  • a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
  • Si el producto mixto de tres vectores, que no son nules, equivale a cero, entonces estos vectores son coplanarios.
Ejemplo 1. Calcular el producto mixto de tres vectores a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Solución:

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

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