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Vectores ortogonales. Condiciones de ortogonalidad de vectores.

Condiciones de ortogonalidad de vectores. Dos vectores

a
y
b
son ortogonales (perpendiculares), si su producto escalar equivale a cero

a
·
b
= 0


Así en caso del problema plano los vectores
a
=
{ax
;
ay}
y
b
=
{bx
;
by}
son ortogonales si

a
·
b
=
ax · bx + ay · by
= 0

Ejemplo 1. Comprobar que los vectores
a
=
{
1; 2
}
y
b
=
{
2; -1
}
son ortogonales.
Solución. Calculamos el producto escalar de estos vectores
a
·
b
= 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 - 2 = 0
Resultado: así que el producto escalar equivale a cero, entonces los vectores
a
y
b
son ortogonales.

Ejemplo 2. Calcular el valor del número (parámetro)
n
con el cual
a
=
{
2; 4
}
y
b
=
{n
; 1
}
serán ortogonales.
Solución. Calculamos el producto escalar de estos vectores
a
·
b
= 2 ·
n
+ 4 · 1 = 2
n
+ 4
2
n
+ 4 = 0
2
n
= -4
n
= -2
Resultado:
n
= -2.

Así en caso del problema espacial los vectores
a
=
{ax
;
ay
;
az}
y
b
=
{bx
;
by
;
bz}
son ortogonales si

a
·
b
=
ax · bx + ay · by + az · bz
= 0

Ejemplo 1. Comprobar que los vectores
a
=
{
1; 2; 0
}
y
b
=
{
2; -1; 10
}
son ortogonales.
Solución. Calculamos el producto escalar de estos vectores
a
·
b
= 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 - 2 + 0 = 0
Resultado: así que el producto escalar equivale a cero, entonces los vectores
a
y
b
son ortogonales.

Ejemplo 2. Calcular el valor del número (parámetro)
n
con el cual
a
=
{
2; 4; 1
}
y
b
=
{n
; 1; -8
}
serán ortogonales.
Solución. Calculamos el producto escalar de estos vectores
a
·
b
= 2 ·
n
+ 4 · 1 + 1 · (-8)= 2
n
+ 4 - 8 = 2
n
- 4
2
n
- 4 = 0
2
n
= 4
n
= 2
Resultado:
n
= 2.





Véase también:

Online calculadora. Vectores ortogonales.

Ejercicios del tema vectores ortogonales en plano.
Ejercicios del tema vectores ortogonales en espacio.



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