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Vectores ortogonales. Condiciones de ortogonalidad de vectores

Condiciones de ortogonalidad de vectores. Dos vectores a y b son ortogonales (perpendiculares), si su producto escalar equivale a cero

a · b = 0



Así en caso del problema plano los vectores a = {ax; ay} y b = {bx; by} son ortogonales si

a · b = ax · bx + ay · by = 0
Ejemplo 1. Comprobar que los vectores a = {1; 2} y b = {2; -1} son ortogonales.

Solución.

Calculamos el producto escalar de estos vectores

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 - 2 = 0

Resultado: así que el producto escalar equivale a cero, entonces los vectores a y b son ortogonales.

Ejemplo 2. Calcular el valor del número (parámetro) n con el cual a = {2; 4} y b = {n; 1} serán ortogonales.

Solución.

Calculamos el producto escalar de estos vectores

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2n + 4
2n + 4 = 0
2n = -4
n = -2

Resultado: n = -2.


Así en caso del problema espacial los vectores a = {axayaz} y b = {bxbybz} son ortogonales si

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0
Ejemplo 3. Comprobar que los vectores a = {1; 2; 0} y b = {2; -1; 10} son ortogonales.

Solución.

Calculamos el producto escalar de estos vectores

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 - 2 + 0 = 0

Resultado: así que el producto escalar equivale a cero, entonces los vectores a y b son ortogonales.

Ejemplo 4. Calcular el valor del número (parámetro) n con el cual a = {2; 4; 1} y b = {n; 1; -8} serán ortogonales.

Solución.

Calculamos el producto escalar de estos vectores

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2n + 4 - 8 = 2n - 4
2n - 4 = 0
2n = 4
n = 2

Resultado: n = 2.

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