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Descomposición del vector en una base.

Combinación lineal de vectores

a1
, ...,
an
con coeficientes
x
1, ...,
xn
se llama el vector

x
1
a1
+ ... +
xn
an
.

Para descomponer el vector

b
en vectores básicos
a1
, ...,
an
, hace falta calcular coeficientes
x
1, ...,
xn
, a los cuáles la combinación lineal de vectores
a1
, ...,
an
equivale al vector
b
,

x
1
a1
+ ... +
xn
an
=
b
,

con esto los coeficientes

x
1, ...,
xn
, se llaman las coordenadas del vector
b
en base
a1
, ...,
an
.

Ejemplo. Descomponer el vector

b
=
{
8; 1
}
en vectores básicos
p
=
{
1; 2
}
y
q
=
{
3; 1
}
.

Solución:

Hacemos una ecuación vectorial
x
p
+
y
q
=
b
,
la cual se puede presentar en forma del sistema de ecuaciones lineales
1
x
+ 3
y
= 8
2
x
+ 1
y
= 1
De la primera ecuación sacamos
x
x
= 8 - 3
y
2
x
+
y
= 1
Coloquemos
x
en la segunda ecuación.
x
= 8 - 3
y
2(8 - 3
y
) +
y
= 1
x
= 8 - 3
y
16 - 6
y
+
y
= 1
x
= 8 - 3
y
5
y
= 15
x
= 8 - 3
y
y
= 3
x
= 8 - 3*3
y
= 3
x
= -1
y
= 3
Resultado:
b
= -
p
+ 3
q
Véase también:

Online calculadora. Descomposición del vector en una base.



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