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Descomposición del vector en una base

Combinación lineal de vectores a1, ..., an con coeficientes x1, ..., xn se llama el vector

x1a1 + ... + xnan.

Para descomponer el vector b en vectores básicos a1, ..., an, hace falta calcular coeficientes x1, ..., xn, a los cuáles la combinación lineal de vectores a1, ..., an equivale al vector b:

x1a1 + ... + xnan = b,

con esto los coeficientes x1, ..., xn, se llaman las coordenadas del vector b en base a1, ..., an.

Ejemplo. Descomponer el vector b = {8; 1} en vectores básicos p = {1; 2} y q = {3; 1}.

Solución:

Hacemos una ecuación vectorial

xp + yq = b,

la cual se puede presentar en forma del sistema de ecuaciones lineales

{ 1x + 3y = 8
2x + 1y = 1

De la primera ecuación sacamos x

{ x = 8 - 3y
2x + y = 1

Coloquemos x en la segunda ecuación.

{ x = 8 - 3y
2(8 - 3y) + y = 1
{ x = 8 - 3y
16 - 6y + y = 1
{ x = 8 - 3y
5y = 15
{ x = 8 - 3y
y = 3
{ x = 8 - 3·3
y = 3
{ x = -1
y = 3

Resultado: b = -p + 3q.

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