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Producto vectorial de vectores.

Producto vectorial Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores

a
y
b
el vector
c
, cuya longitud númericamente equivale al área del paralelogramo constuido en vectores
a
y
b
, perpendicular al plano de estos vectores y dirigido de tal manera que la revolución mínima del
a
hacia
b
en torno al vector
c
se haga de la derecha a la izquierda, si verlo del final del vector
c
.

Producto vectorial v

a
=
{x1; y1; z1}
y
b
=
{x2; y2; z2}
ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes:
a
×
b
=
i
j
k
= i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)
x1
y1
z1
x2
y2
z2

или

a
×
b
=
{y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}


Propiedades del producto vectorial

  • Interpretación geométrica geométrico del producto vectorial. Módulo del producto vectorial de dos vectores
    a
    y
    b
    equivale al área del paralelogramo construído en estos vectores.
  • Producto vectorial de dos vectores que no son nulos
    a
    y
    b
    equivale a cero sólo cuando los vectores son colineales
  • Si el vector
    c
    equivale al producto vectorial de los vectores
    a
    y
    b
    , entonces es perpendicular a estos vectores.
  • a
    ×
    b
    = -
    b
    ×
    a
  • (
    k
    a
    ) ×
    b
    =
    a
    × (
    k
    b
    ) =
    k
    (
    a
    ×
    b
    )
  • (
    a
    +
    b
    ) ×
    c
    =
    a
    ×
    c
    +
    b
    ×
    c

Ejemplo 1. Calcular producto vectorial de los vectores
a
=
{
1; 2; 3
}
y
b
=
{
2; 1; -2
}
.
Решение
a
×
b
 
i
 
 
j
 
 
k
 
 =
 1   2   3 
 2   1   -2 

 =
i
(2 · (-2) - 3 · 1) -
j
(1 · (-2) - 2 · 3) +
k
(1 · 1 - 2 · 2) =
{
-7; 8; -3
}






Véase también:

Online calculadora. Producto vectorial de vectores.

Ejercicios del tema producto vectorial de vectores.



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