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Menor y cofactores de una matriz

Definición.
Menor Mij de un elemento aij del determinante del orden n es un determinante de orden (n - 1) obtenido del determinante inicial por medio de eliminar la fila i y la columna j.
Ejemplo 1.
Calcular menores de la matriz A
A = 571 -410 203

Solución:

M11
5 7 1
-4 1 0
2 0 3
 = 
1 0
0 3
M11
1 0
0 3
 = 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3
M12
-4 0
2 3
 = -4·3 - 0·2 = -12 -0 = -12
M13
-4 1
2 0
 = -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2
M21
7 1
0 3
 = 7·3 - 1·0 = 21 - 0 = 21
M22
5 1
2 3
 = 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13
M23
5 7
2 0
 = 5·0 - 7·2 = 0 - 14 = -14
M31
7 1
1 0
 = 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1
M32
5 1
-4 0
 = 5·0 - 1·(-4) = 0 + 4 = 4
M33
5 7
-4 1
 = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Definición.
Cofactor Aij de un elemento aij del determinante de orden n es un número

Aij = (-1)i + j · Mij


Propiedades de cofactores de una matriz

Ejemplo 2.
Calcular el cofactor de la matriz A
A11 = 571 -410 203

Solución:

A11 = (-1)1 + 1·M11 = (-1)2· 10 03 = 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3
A12 = (-1)1 + 2·M12 = (-1)3· -40 23 = -(-4·3 - 0·2) = -(-12 -0) = 12
A13 = (-1)1 + 3·M13 = (-1)4· -41 20 = -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2
A21 = (-1)2 + 1·M21 = (-1)3· 71 03 = -(7·3 - 1·0) = -(21 - 0) = -21
A22 = (-1)2 + 2·M22 = (-1)4· 51 23 = 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13
A23 = (-1)2 + 3·M23 = (-1)5· 57 20 = -(5·0 - 7·2) = -(0 - 14) = 14
A31 = (-1)3 + 1·M31 = (-1)4· 71 10 = 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1
A32 = (-1)3 + 2·M32 = (-1)5· 51 -40 = -(5·0 - 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4
A33 = (-1)3 + 3·M33 = (-1)6· 57 -41 = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

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