Menor y cofactores de una matriz
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Definición.
Menor Mij de un elemento aij del determinante del orden n es un determinante de orden (n - 1) obtenido del determinante inicial por medio de eliminar la fila i y la columna j.Ejemplo 1.
Calcular menores de la matriz A
A =
5 7 1 -4 1 0 2 0 3
Solución:
| M11 = |
|
= |
|
| M11 = |
|
= 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3 |
| M12 = |
|
= -4·3 - 0·2 = -12 -0 = -12 |
| M13 = |
|
= -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2 |
| M21 = |
|
= 7·3 - 1·0 = 21 - 0 = 21 |
| M22 = |
|
= 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13 |
| M23 = |
|
= 5·0 - 7·2 = 0 - 14 = -14 |
| M31 = |
|
= 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1 |
| M32 = |
|
= 5·0 - 1·(-4) = 0 + 4 = 4 |
| M33 = |
|
= 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33 |
Definición.
Cofactor Aij de un elemento aij del determinante de orden n es un número
Aij = (-1)i + j · Mij
Propiedades de cofactores de una matriz
- Suma de los productos de los elementos de una fila (una columna) del determinante por el cofactor de los elementos de esta fila (columna) es igual al determinante de una matriz:
n Σ aij·Aij = det(A) j = 1 - Suma de los productos de los elementos de una fila (una columna) del determinante por el cofactor de los elementos de otra fila (columna) es igual a cero:
n Σ akj·Aij = 0 (i ≠ k) j = 1 - Suma de los productos de los elementos de una fila “opcional” por el cofactor de los elementos de la fila i del determinante es igual al determinante en que en vez de la fila i está escrita la fila “opcional”.
Ejemplo 2.
Calcular el cofactor de la matriz A
A11 =
5 7 1 -4 1 0 2 0 3
Solución:
A11 = (-1)1 + 1·M11 = (-1)2·
1 0 0 3
A12 = (-1)1 + 2·M12 = (-1)3·
-4 0 2 3
A13 = (-1)1 + 3·M13 = (-1)4·
-4 1 2 0
A21 = (-1)2 + 1·M21 = (-1)3·
7 1 0 3
A22 = (-1)2 + 2·M22 = (-1)4·
5 1 2 3
A23 = (-1)2 + 3·M23 = (-1)5·
5 7 2 0
A31 = (-1)3 + 1·M31 = (-1)4·
7 1 1 0
A32 = (-1)3 + 2·M32 = (-1)5·
5 1 -4 0
A33 = (-1)3 + 3·M33 = (-1)6·
5 7 -4 1
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