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Rango de una matriz

Definición.
Rango del sistema de filas (columnas) es el número máximo de filas (columnas) de este sistema linealmente independientes.
Teorema.
Rango del sistema de filas de una matriz es igual a su rango del sistema de columnas.
Definición.
Rango de la matriz A es el rango de su sistema de filas o columnas.

Normalmente el rango de la matriz A se denota como rank(A) o rang(A)


Propiedades de una matriz relacionadas con el rango



Métodos del cálculo del rango de una matriz


Método de operaciones elementales

Utilizando las propiedades de una matriz relacionadas con su rango se ha obtenido él método del cálculo del rango que en la práctica se aplica en el mayor número de casos.

Método 1.
El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas después de reducir la matriz a la escalonada utilizando las operaciones elementales de filas y columnas de la matriz.

Método de orlar menores

Teorema.
El rango de una matriz es igual al mayor orden del menor no nulo.
Método 2.
Si en la matriz A ya se ha calculado el menor no nulo de orden k M. Echémos un vistazo a todos los menores de orden (k + 1), que incluyen (orlados) menor M; si todos ellos son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a k. Si entre los menores orlados hay uno que no sea nulo, entonces todo el procedimiento se reitera.

Ejemplo.
Calcular el rango de la matriz A, donde
A =  ( 4201 )
2123
03101
4246

Solución:

Restemos de la primera fila la segunda multiplicada por 2, de la cuarta fila restemos la segunda multiplicada por 2

( 4201 )  ~  ( 00-4-5 )  ~ 
2123 2123
03101 03101
4246 0000

Cambiemos las filas de posición

 ~  ( 2123 )
03101
00-4-5
0000

la matriz resultante es escalonada, eso significa que rank(A) = 3.

Resultado: rank(A) = 3.

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