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Determinante de una matriz

Determinante de una matriz es una de las principales características numéricas de una matriz cuadrada que se aplica para resolver muchos problemas.
Definición.
El determinante de la matriz n×n será el número:
det(A) = Σ(-1)N(α1,α2,...,αn)·aα11·aα22·...·aαnn
(α1,α2,...,αn)
donde (α1,α2,...,αn) - transposición de números desde 1 a n, N(α1,α2,...,αn) - número de inversiones en la transposición, el proceso de sumar se realiza en todas las transposiciones posibles del orden n.
Обозначение
Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Propiedades del determinante de una matriz

  1. Determinante de una matriz identidad es igual a uno:

    det(E) = 1

  2. Determinante de una matriz con dos filas (columnas) iguales es igual a cero.
  3. Determinante de una matriz con dos filas (columnas) proporcionales es igual a cero.
  4. Determinante de una matriz que contiene una fila (columna) nula es igual a cero.
  5. Determinante de una matriz es igual a cero si dos (o varias) filas (columnas) de la matriz son linealmente dependientes.
  6. Durante la transposición el valor del determinante de una matriz no se cambia:

    det(A) = det(AT)

  7. Determinante de una matriz inversa:

    det(A-1) = det(A)-1

  8. Determinante de una matriz no se cambiará si a alguna de sus filas (columnas) sumar otra fila (columna) multiplicada por un cierto número.
  9. Determinante de una matriz no se cambiará si a alguna de sus filas (columnas) sumar una combinación lineal de otras filas (columnas).
  10. Si cambiar de posición dos filas (columnas) de una matriz, entonces el determinante de la matriz cambiará su signo.
  11. Se puede transponer el factor común en una fila (columna) fuera del signo del determinante:
    a11a12...a1n a21a22...a2n .... k·ai1k·ai2...k·ain .... an1an2...ann = k· a11a12...a1n a21a22...a2n .... ai1ai2...ain .... an1an2...ann
  12. Si una matriz cuadrada de orden n se multiplica por un cierto número no nulo, entonce el determinante de la matriz obtenida es igual al producto del determinante de la matriz inicial por este número elevado a n:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    donde A matriz n×n, k - número.
  13. Si cada elemento en alguna fila del determinante es igual a la suma de dos sumandos, entonces el determinante inicial es igual a la suma de dos determinantes en los que en vez de esta fila se sitúan el primer y el segundo sumando respectivamente y las demás filas coinciden con el determinante inicial:

    a11a12...a1n a21a22...a2n .... bi1 + ci1bi2 + ci2...bin + cin .... an1an2...ann = a11a12...a1n a21a22...a2n .... bi1bi2...bin .... an1an2...ann + a11a12...a1n a21a22...a2n .... ci1ci2...cin .... an1an2...ann
  14. Determinante de la matriz triangular superior (inferior) es igual al producto de sus elementos diagonales.
  15. Determinante del producto de matrices es igual al producto de determinantes de estas matrices:

    det(A·B) = det(A)·det(B)


Métodos del cálculo del determinante de una matriz

Cálculo del determinante de la matriz 1×1

Regla:
Para una matriz del orden 1 el valor del determinante es igual al valor de un elemento de esta matriz:

∆ = |a11| = a11


Cálculo del determinante de la matriz 2×2

Regla:
Para la matriz 2×2 el valor del determinante es igual a la diferencia de los productos de los elementos de la diagonal principal y secundaria:
∆ = 
a11a12
a21a22
 = a11·a22 - a12·a21
Ejemplo 1.
Calcular el determinante de la matriz A
A = 
(57)
-41

Solución:

det(A) = 
57
-41
 = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33


Cálculo del determinante de la matriz 3×3

Regla del triángulo para calcular el determinante de matriz del orden 3

Regla:
Para la matriz 3×3 el valor del determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los productos de los elementos situados sobre los triángulos con la cara paralela a la diagonal principal de la que se sustrae el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de los elementos situados en los triángulos con la cara paralela a la diagonal secundaria.
determinante + determinante -
+

∆ = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =

a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Regla de Sarrus para calcular el determinante de la matriz de orden 3.

Regla:
A la derecha del determinante se apuntan dos primeras columnas y los productos de los elementos en la diagonal principal y en las diagonales paralelas a ella, se aplican con el signo “más”; y los productos de los elementos de la diagonal secundaria y las diagonales paralelas a ella, se aplican con el signo “menos”:
∆ = 
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
 =

a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Ejemplo 2.
Calcular el determinante de la matriz A = 571 -410 203

Solución:

det(A) = 571 -410 203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 - 1·1·2 - 5·0·0 - 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 - 2 - 0 + 84 = 97


Cálculo del determinante de una matriz de la dimensión opcional

Desarrollo de un determinante por una fila o una columna

Regla:
Determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila del determinante por sus cofactores:
n
det(A) = Σaij·Aij - desarrollo por la fila i
j = 1
Regla:
Determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de la columna del determinante por sus cofactores:
n
det(A) = Σaij·Aij - desarrollo por la columna j
i = 1

Cuando se desarrolla el determinante de una matriz normalmente se escoge aquella fila/columna que tenga el máximo número de los elementos nulos.

Ejemplo 3.
Calcular el determinante de la matriz A
A = 
(241)
021
211

Solución: Calculemos el determinante de una matriz desarrollándolo por la primera columna:

det(A) = 
241
021
211
 =
= 2·(-1)1+1· 21 11 + 0·(-1)2+1· 41 11 + 2·(-1)3+1· 41 21 =

= 2·(2·1 - 1·1) + 2·(4·1 - 2·1) = 2·(2 - 1) + 2·(4 - 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6


Ejemplo 4.
Calcular el determinante de la matriz A
A = 2411 0200 2113 4023

Solución: Calculemos el determinante de una matriz desarrollándolo por la segunda fila (tiene el mayor número de ceros):

det(A) = 2411 0200 2113 4023 = - 0· 411 113 023 + 211 213 423 - 241 213 403 + 241 211 402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 - 1·1·4 - 2·3·2 - 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 - 4 - 12 - 6) = 2·0 = 0


Reducción del determinante a la forma triangular

Regla:
Utilizando las propiedades del determinante para las operaciones elementales sobre filas columnas (8 - 11,), un determinante se toma un aspecto triangular y entonces su valor será igual al producto de los elementos situados en la diagonal principal.
Ejemplo 5.
Calcular el determinante de la matriz A por medio de su reducción a la forma triangular
A = 2411 0210 2113 4023

Solución:

det(A) = 2411 0210 2113 4023

Primero obtengamos unos ceros en la primera columna debajo de la diagonal principal. Para ello sustraigamos la primera fila de la tercera, y la primera multiplicada por 2 de la cuarta fila:

det(A) = 2411 0210 2 - 21 - 41 - 13 - 1 4 - 2·20 - 4·22 - 1·23 - 1·2 = 2411 0210 0-302 0-801

Obtengamos unos ceros en la segunda columna debajo de la diagonal principal. Para ello transpongamos la segunda y la tercera columna (asimismo el determinante cambiará su signo por el contrario):

det(A) = - 2141 0120 00-32 00-81

Obtengamos unos ceros en la tercera columna debajo de la diagonal principal. Para ello sumemos a la tercera columna la cuarta multiplicada por ocho:

det(A) = - 214 + 1·81 012 + 0·80 00-3 + 2·82 00-8 + 1·81 = - 21121 0120 00132 0001 = -2·1·13·1 = -26

Teorema de Laplace

Teorema:
Digamos que ∆ - es un determinante del orden n. Escojamos en ello cualquier k filas (columnas), pero que k < n. Entonces la suma de los productos de todos los menores del orden k, contenidos en las filas (columnas) elegidas, por sus cofactores es igual al determinante.

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