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Filas linealmente dependientes e independientes.

Definición.
Se llama combinación lineal de las filas s1, s2, ..., sl de la matriz A a la expresión

α1s1 + α2s2 + ... + αlsl

Definición.
Toda combinación lineal de filas es trivial si todos sus coeficientes αi simultáneamente son iguales a cero.
¡Nótese!
Combinación lineal trivial de las filas es igual a la fila nula.
Definición.
Toda combinación lineal de filas es no trivial si al menos uno de los coeficientes αi no es igual a cero.
Definición.
Todo sistema de filas es linealmente dependiente (LD) si existe su combinación lineal no trivial que sea igual a la fila nula.
Definición.
Todo sistema de filas es linealmente independiente (LIN) si solo la combinación lineal trivial de filas es igual a la fila nula (no existe su combinación lineal no trivial que sea igual a la fila nula).
¡Nótese!
El sistema de filas de una matriz cuadrada es linealmente dependiente si y sólo si el determinante de esta matriz no es igual a cero.
¡Nótese!
El sistema de filas de una matriz cuadrada es linealmente dependiente si y sólo si el determinante de esta matriz es igual a cero.
Ejemplo 1.
Mostrar que el sistema de filas {s1 = {2   5}; s2 = {4   10}} es linealmente dependiente.

Solución. Hagamos una combinación lineal de estas filas

α1{2   5} + α2{4   10}

Calculemos tales valores de α1, α2 que esta combinación lineal sea igual a la fila nula

α1{2   5} + α2{4   10} = {0   0}

La ecuación dada es equivalente a tal sistema de ecuaciones:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0

Dividamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 5:

{ α1 + 2α2 = 0
α1 + 2α2 = 0

El resultado de este sistema pueden ser números cualquieres α1 y α2 pero que: α1 = -2α2, por ejemplo, α2 = 1, α1 = -2, y eso significa que las filas s1 y s2 son linealmente dependientes.

Ejemplo 2.
Mostrar que el sistema de filas {s1 = {2   5   1}; s2 = {4   10   0}} es linealmente independiente.

Solución. Hagamos una combinación lineal de estas filas.

α1{2   5   1} + α2{4   10   0}

Calculemos tales valores de α1, α2 esta combinación lineal sea igual a la fila nula

α1{2   5   1} + α2{4   10   0} = {0   0   0}

La ecuación dada es equivalente a tal sistema de ecuaciones:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0
α1 + 0α2 = 0

De la tercera ecuación obtenemos α1 = 0, pongamos este valor en la primera y la segunda ecuaciones:

2·0+4α2=0 5·0+10α2=0 α1=0 => 4α2=0 10α2=0 α1=0 => α2 = 0 α2 = 0 α1 = 0

Ya que la combinación lineal de filas es igual a cero sólo cuando α1 = 0 y α2 = 0, entonces las filas son linealmente independientes.


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