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Operaciones elementales de matrices

Definición.
Operaciones elementales de matrices son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices, o sea, las operaciones elementales no afectan las múltiples soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas lineales representado por esta matriz.

Operaciones elementales se utilizan en el método de Gauss para darle a una matriz el aspecto triangular o escalonado.

A las operaciones elementales de las filas pertenecen:

  • transposición entre dos filas cualquieras de una matriz;
  • multiplicación de cualquier fila de una matriz por una constante no nula;
  • adición a cualquier fila de una matriz otra fila multiplicada por un número no nulo.

Analógicamente se determinan las operaciones elementales de las columnas.

Definición.
A las matrices A y B las denominan unas matrices equivalentes si de la matriz A a la matriz B se llega por medio de las operaciones elementales de filas y este proceso se denota A ~ B.

Ejemplos de operaciones elementales de matrices

Ejemplo 1.
Utilizando operaciones elementales de las filas transformar la matriz A en una matriz triangular superior, donde
A =  (  4  2  0  )
 1  3  2 
 -1  3  10 

Solución:

Cambiemos de lugar la primera y la segunda fila

(  4  2  0  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 1  3  2  4  2  0 
 -1  3  10  -1  3  10 

a la segunda fila sumemos la primera multiplicada por -4; a la tercera fila sumemos la primera

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 4 + (-4)·1  2 + (-4)·3  0 + (-4)·2  0  -10  -8 
 -1 + 1  3 + 3  10 + 2  0  6  12 

dividamos la segunda fila por -2, la tercera fila la dividamos por 6

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 0  -10/(-2)  -8/(-2)  0  5  4 
 0  6/6  12/6  0  1  2 

cambiemos de lugar la segunda y la tercera fila

 ~  (  1  3  2  )  ~ 
 0  1  2 
 0  5  4 

sumemos la tercera fila a la segunda multiplicada por -5

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )
 0  1  2  0  1  2 
 0  5 + (-5)·1  4 + (-5)·2  0  0  -6 

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