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Multiplicación de matrices

Definición.
El resultado del producto de matrices Am×n y Bn×k será una tal matriz Cm×k donde el elemento de la C que está en la fila i y la columna j equivale a la suma del producto de los elementos de la fila i de la matriz A y los elementos correspondientes de la columna j de la matriz B:

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ... + ain · bnj

¡Nótese!
Se puede multiplicar una matriz por otra matriz sólo cuando el número de las columnas de la primera matriz equivale al número de las filas de la segunda matriz.

Propiedades de multiplicación de matrices

  • (A · B) · C= A · (B · C) - el producto de matrices es asociativo;
  • (z · A) · B= z · (A · B), donde z - es un número;
  • A · (B + C) = A · B + A · C - el producto de matrices es distributivo;
  • En · Anm = Anm · Em= Anm - multiplicación por una matriz identidad;
  • A · B ≠ B · A - el producto de dos matrices generalmente no es conmutativo.
  • El producto de dos matrices es tal matriz que tiene el mismo número de filas que el factor izquierdo y también el mismo número de columnas que el factor derecho.

Ejemplos de problemas sobre el tema de multiplicación de matrices

Ejemplo 1.
Calcular la matriz C que equivale al producto de matrices A = 42 90 y B = 31 -34

Solución:

С = A · B = 42 90 · 31 -34 = 612 279

Los elementos de la matriz C se calculan de la siguiente manera:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Ejemplo 2
Calcular la matriz C que equivale al producto de matrices A = 21 -30 4-1 y B = 5-16 -307 .

Solución:

C = A · B = 21 -30 4-1 · 5-16 -307 = 7-219 -153-18 23-417

Los elementos de la matriz C se calculan de la siguiente manera:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17

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