Operaciones elementales de matrices
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Definición.
Operaciones elementales de matrices son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices, o sea, las operaciones elementales no afectan las múltiples soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas lineales representado por esta matriz.Operaciones elementales se utilizan en el método de Gauss para darle a una matriz el aspecto triangular o escalonado.
A las operaciones elementales de las filas pertenecen:
- transposición entre dos filas cualquieras de una matriz;
- multiplicación de cualquier fila de una matriz por una constante no nula;
- adición a cualquier fila de una matriz otra fila multiplicada por un número no nulo.
Analógicamente se determinan las operaciones elementales de las columnas.
Definición.
A las matrices A y B las denominan unas matrices equivalentes si de la matriz A a la matriz B se llega por medio de las operaciones elementales de filas y este proceso se denota A ~ B.Ejemplos de operaciones elementales de matrices
Ejemplo 1.
Utilizando operaciones elementales de las filas transformar la matriz A en una matriz triangular superior, donde
| A = |  |
4 | 2 | 0 |  |
| 1 | 3 | 2 | |||
| -1 | 3 | 10 |
Solución:
Cambiemos de lugar la primera y la segunda fila
|
4 | 2 | 0 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 1 | 3 | 2 | 4 | 2 | 0 | ||||||
| -1 | 3 | 10 | -1 | 3 | 10 |
a la segunda fila sumemos la primera multiplicada por -4; a la tercera fila sumemos la primera
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 4 + (-4)·1 | 2 + (-4)·3 | 0 + (-4)·2 | 0 | -10 | -8 | |||||||
| -1 + 1 | 3 + 3 | 10 + 2 | 0 | 6 | 12 |
dividamos la segunda fila por -2, la tercera fila la dividamos por 6
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 0 | -10/(-2) | -8/(-2) | 0 | 5 | 4 | |||||||
| 0 | 6/6 | 12/6 | 0 | 1 | 2 |
cambiemos de lugar la segunda y la tercera fila
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 0 | 1 | 2 | ||||
| 0 | 5 | 4 |
sumemos la tercera fila a la segunda multiplicada por -5
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | ||||||
| 0 | 5 + (-5)·1 | 4 + (-5)·2 | 0 | 0 | -6 |
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