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Triángulo. Fórmulas y propiedades de triángulos

Definición. El triángulo es una figura que consta de tres puntos no situados en una misma recta y tres segmentos que a pares unen estos puntos. Los puntos se denominan los vértices del triángulo y los segmentos son sus lados.

Clasificación de los triángulos

Por la amplitud de sus ángulos

  1. Triángulo acutángulo
    Triángulo acutángulo – cuando todos sus ángulos internos son agudos.
  2. Triángulo obtusángulo
    Triángulo obtusángulo – si uno de sus ángulos internos es obtuso (mayor de 90°).
  3. Triángulo rectángulo
    Triángulo rectángulo – si tiene un ángulo interno recto (90°).

Por el número de los lados iguales

  1. Triángulo acutángulo
    Triángulo escaleno – los tres lados son diferentes.
  2. Triángulo isósceles
    Triángulo isósceles – sus dos lados son iguales.
  3. Triángulo equilátero
    Triángulo equilátero o triángulo regular – los tres lados son iguales.

Vértices ángulos y lados del triángulo

Propiedades de los angulos y los lados del triángulo

Vértices y ángulos del triángulo

Suma de los ángulos del triángulo es igual a 180°:

α + β + γ = 180°

En un triángulo frente al lado mayor está situado el ángulo mayor, y al revés. Frente a los lados iguales están situados los ángulos iguales:

si α > β, entonce a > b

si α = β, entonce a = b

Suma de las longitudes de dos lados cualquieres de un triángulo es mayor que la longitud del lado restante:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Teorema de los senos.

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

a = b = c = 2R
sin αsin βsin γ

Teorema del coseno.

El cuadrado del cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de otros dos lados del triángulo menos el producto doble de estos lados por el coseno del ángulo que ellos forman.

a2 = b2 + c2 - 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 - 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 - 2ab·cos γ

Ley de proyecciones

Para un triángulo acutángulo:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Fórmulas para calcular las longitudes de los lados del triángulo

Fórmulas para calcular los lados por medio de las medianas

a = 232(mb2 + mc2) - ma2

b = 232(ma2 + mc2) - mb2

c = 232(ma2 + mb2) - mc2


Medianas del triángulo

Medianas del triángulo
Definición. Se llama mediana de un triángulo al segmento que une un vértice del triángulo al punto central del lado opuesto.

Propiedades de las medianas del triángulo:

  1. Las medianas de un triángulo concurren en un punto. (El punto de intersección de las medianas se llama centroide)
  2. En el punto de intersección las medianas de un triángulo se dividen a proporción de dos a uno (2:1)

    AOOD = BOOE = COOF = 21
  3. Mediana de un triángulo lo divide en dos partes iguales

    A∆ABD = A∆ACD

    A∆BEA = A∆BEC

    A∆CBF = A∆CAF

  4. Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

    A∆AOF = A∆AOE = A∆BOF = A∆BOD = A∆COD = A∆COE

  5. De los vectores que forman medianas se puede construir un triángulo.

Fórmulas de las medianas del triángulo

Fórmulas de las medianas del triángulo por medio de los lados

ma = 122b2+2c2-a2

mb = 122a2+2c2-b2

mc = 122a2+2b2-c2


Bisectrices del triángulo

Bisectrices del triángulo
Definición. Se llama bisectriz de un ángulo al rayo que tiene su inicio en un vértice del ángulo y que divide a este ángulo en dos ángulos iguales.

Propiedades de las bisectrices del triángulo:

  1. Las bisectrices de un triángulo concurren en un punto equidistante de los tres lados del triángulo, - es el centro de la circunferencia inscrita.
  2. Bisectriz de un triángulo divide el lado opuesto en los segmentos proporcionales a los lados adyacentes del triángulo.

    AEAB = ECBC
  3. El ángulo entre las bisectrices del ángulo interior y exterior de un triángulo en el mismo vértice es igual a 90°.

    ángulo entre lc y lc' = 90°
  4. Si un triángulo tiene dos bisectrices iguales, entonces el triángulo es isósceles.

Fórmulas de las bisectrices del triángulo

Fórmulas de las bisectrices del triángulo por medio de los lados:

la = 2√bcs(s - a)b + c

lb = 2√acs(s - b)a + c

lc = 2√abs(s - c)a + b

donde s = a + b + c2 - semiperímetro del triángulo

Fórmulas de las bisectrices de un triángulo por medio de dos lados y un ángulo:

la = 2bc cos α2b + c

lb = 2ac cos β2a + c

lc = 2ab cos γ2a + b


Alturas del triángulo

Alturas del triángulo
Definición. Se llama altura del triángulo a la perpendicular bajada desde un vértice del triángulo sobre una recta que contiene al lado opuesto.
Dependiendo de la clase del triángulo la altura puede
  • estar dentro de un triángulo – para un triángulo acutángulo;
  • coincidir con su lado – para el cateto de un triángulo rectángulo;
  • pasar por fuera de un triángulo – para los ángulos agudos de un triángulo obtusángulo.

Propiedades de las alturas de un triángulo

Las alturas de un triángulo se cruzan en un punto llamado el ortocentro del triángulo.
Si un triángulo tiene dos alturas iguales, entonces este triángulo es isósceles.
ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)
1ha + 1hb + 1hc = 1r

Fórmulas de las alturas del triángulo

Fórmulas de las alturas del triángulo por medio de un lado y un ángulo:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Fórmulas de las alturas del triángulo por medio de un lado y el área:

ha = 2Aa

hb = 2Ab

hc = 2Ac

Fórmulas de las alturas del triángulo por medio de dos lados y el radio de la circunferencia circunscrita:

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R


Circunferencia inscrita en un triángulo

Circunferencia inscrita en un triángulo
Definición. Se llama circunferencia inscrita en un triángulo a la circunferencia que toca sus tres lados.

Propiedades de la circunferencia inscrita en un triángulo

El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo se sitúa en la intersección de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo.
En cualquier triángulo es posible inscribir una circunferencia, pero sólo una.

Fórmulas del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo

El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo es igual a la relación del área del triángulo a su semiperímetro:

r = As

El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo por medio de tres lados:

r = (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)4(a + b + c)

El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo por medio de tres alturas:

1r = 1ha + 1hb + 1hc


Circunferencia circunscrita del triángulo

Circunferencia circunscrita del triángulo
Definición. Se llama circunferencia circunscrita de un triángulo a la circunferencia que contiene todos los vértices del dicho triángulo en su interior.

Propiedades de la circunferencia circunscrita de un triángulo

El centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo se sitúa en la intersección de las mediatrices a sus lados.
En torno a cualquier triángulo es posible trazar una circunferencia, pero sólo una.
Propiedades de los ángulos
El centro de la circunferencia circunscrita se encuentra dentro del triángulo acutángulo, por fuera del triángulo obtusángulo, en la mitad de la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Fórmulas del radio de la circunferencia circunscrita de un triángulo

Radio de la circunferencia circunscrita por medio de los tres lados y el área:

R = abc4A

Radio de la circunferencia circunscrita por medio del área y tres ángulos:

R = A2 sin α sin β sin γ

Radio de la circunferencia circunscrita por medio un lado y un ángulo opuesto (teorema de los senos):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ


Conexión entre circunferencia inscrita y circunscrita

Si d es la distancia entre los centros de las circunferencias inscrita y circunscrita, entonces

d2 = R2 - 2Rr

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ - 1
2Rr = abca + b + c

Paralela media del triángulo

Definición. Paralela media del triángulo es un segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo.

Propiedades de la paralela media del triángulo

1. Cualquier triángulo tiene tres paralelas medias
2.
Paralela media del triángulo
Paralela media es paralela a la base y es igual a su mitad.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Paralela media corta un triángulo semejante al dicho cuyo área es igual a la cuarta parte del área del triángulo inicial.

A∆MBN = 14 A∆ABC

A∆MAK = 14 A∆ABC

A∆NCK = 14 A∆ABC

4. Al cruzarse las tres paralelas medias forman cuatro triángulos iguales, semejantes (incluso homotéticos) al triángulo inicial con un coeficiente 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Criterios. Si el segmento es paralelo a uno de los lados del triángulo y une el punto medio del lado del triángulo al punto situado en otro lado del triángulo, entonces este segmento es media paralela.

Perímetro del triángulo

Perímetro del triángulo

Perímetro del triángulo ABC es igual a la suma de longitudes de sus lados.

P = a + b + c

Fórmulas del área del triángulo

área del triángulo
  1. Fórmulas del área del triángulo por un lado y una altura
    Área del triángulo es igual al producto de la longitud de un lado del triángulo por la longitud de la altura trazada a este lado.
    A = 12a · ha
    A = 12b · hb
    A = 12c · hc
  2. Fórmulas del área del triángulo por medio de tres lados

    Fórmula de Herón

    A = √s(s - a)(s - b)(s - c)
    donde s = a + b + c2 - semiperímetro del triángulo.
  3. Fórmula del área del triángulo por medio de dos lados y el ángulo entre ellos
    Área del triángulo es igual a la mitad del producto de sus dos lados multiplicado por el seno del ángulo entre ellos.
    A = 12a · b · sin γ
    A = 12b · c · sin α
    A = 12a · c · sin β
  4. Fórmula del área del triángulo por medio de tres lados y el radio de la circunferencia circunscrita.
    A = a · b · с
    4R
  5. Fórmula del área del triángulo por medio de tres lados y el radio de la circunferencia inscrita
    Área del triángulo es igual al producto del semiperímetro del triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
    A = s · r

Congruencia de los triángulos

Definición. Si es posible combinar yuxtaponiendo dos triángulos АВС y А1В1С1, entonces ellos son congruentes (iguales).
Propiedades. Los triángulos congruentes tienen sus elementos respectivos iguales. (En los triángulos congruentes frente a los lados iguales están los ángulos iguales, frente a los ángulos iguales están los lados iguales).

Criterios de congruencia de los triángulos

Teorema 1.

El primer criterio de la congruencia de los triángulos — por dos lados y el ángulo entre ellos

Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces tales triángulos son congruentes.
Teorema 2.

El segundo criterio de la congruencia de los triángulos — por un lado y dos ángulos adyacentes

Si un lado y dos ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente iguales a un lado y dos ángulos adyancentes de otro triángulo, entonces tales triángulos son congruentes.
Teorema 3.

El tercer criterio de la congruencia de los triángulos — por tres lados

Si tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a tres lados de otro triángulo, entonces tales triángulos son congruentes.

Semejanza de los triángulos

Semejanza de los triángulos
Definición. Triángulos semejantes son aquellos triángulos cuyos respectivos ángulos son iguales y los lados homológicos son proporcionales

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

donde k - es coeficiente de semejanza

Criterios de semejanza de los triángulos

El primer criterio de semejanza de los triángulos

Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados del otro, entonces tales triángulos son semejantes.

El segundo criterio de semejanza de los triángulos

Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados del otro, entonces tales triángulos son semejantes.

El tercer criterio de semejanza de los triángulos

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados del otro, y los ángulos entre estos lados son iguales, entonces tales triángulos son semejantes.
Propiedades. Las áreas de los triángulos semejantes se relacionan como el cuadrado del coeficiente de semejanza:

A∆АВСA∆MNK = k2


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