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Trapecio. Fórmulas, características y propiedades del trapecio

Definición.
Trapecio es un cuadrilátero cuyos dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

Se llaman a los lados paralelos las bases del trapecio y a otros dos – los lados laterales.

También se llama el trapecio a un cuadrilátero cuyo un par de los lado opuestos es paralelo y los lados no son iguales entre si.

Elementos del trapecio:
  • Bases de trapecio son los lados paralelos
  • Lados laterales son otros dos lados
  • Mediana es el segmento que une las mitades de los lados laterales.
Tipos de trapecios:
  • Trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados laterales son iguales
  • Trapecio rectángulo es un trapecio uno de los lados laterales del cual es perpendicular a las bases
Imagen del trapecio con signos Imagen del trapecio con signos
fig.1 fig.2

Propiedades del trapecio

1. Se puede inscribir una circunferencia en el trapecio si la suma de las longitudes de las bases equivale a la suma de las longitudes de los lados laterales:

AB + CD = BC + AD

2. Mediana del trapecio divide por la mitad a cualquier segmento que une dos bases, también divide las diagonales por la mitad:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Mediana del trapecio es paralela a las bases y equivale a sus semisumas:
m = a + b
2
4. Mediana del trapecio es paralela a las bases y equivale a sus semisumas.
5. En un trapecio su lado lateral se ve desde el centro de la circunferencia inscrita bajo el ángulo de 90°.
6. Cada diagonal en el punto de la intersección se divide en dos partes con tal correlación de la longitud como la de entre las bases:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Diagonales del trapecio d1 y d2 están relacionadas con los lados mediante la correlación de:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2


Lado del trapecio

Fórmulas para hallar longitudes de los lados del trapecio:

1. Fórmula de la longitud de las bases a través de la mediana y otra base:

a = 2m - b

b = 2m - a

2. Fórmulas de la longitud de las bases a través de la altura y los ángulos al lado de la base inferior:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a - h · (ctg α + ctg β)

3. Fórmulas de la longitud de las bases a través de los lados laterales y los ángulos al lado de la base inferior:

a = b + cos α + cos β

b = a - cos α - cos β

4. Fórmulas de los lados laterales a través de la altura y los ángulos al lado de la base inferior:
с = h       d = h
sin αsin β

Mediana del trapecio

Definición.
La mediana es un segmento que une los centros de los lados laterales de un trapecio.

Fórmulas para hallar la longitud de la mediana del trapecio:

1. Fórmula para hallar la longitud de la mediana a través de las longitudes de las bases:
m = a + b
2
2. Fórmula para hallar la longitud de la mediana a través del área y la altura:
m = A
h

Altura del trapecio

Fórmulas para hallar la longitud de la altura del trapecio:

1. Fórmula de la altura a través de un lado y el ángulo adyacente al lado de la base:

h = sin α = sin β

2. Fórmula de la altura a través de las diagonales y los ángulos entre ellas:
h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
a + ba + b
3. Fórmula de la altura a través de las diagonales, los ángulos entre ellas y la mediana:
h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
2m2m
4. Fórmula de la altura del trapecio a través del área y las longitudes de sus bases:
h = 2A
a + b
5. Fórmula de la altura del trapecio a través del área y la longitud de la mediana:
h = A
m

Diagonales del trapecio

Fórmulas para hallar las longitudes de las diagonales del trapecio:

1. Fórmulas de las diagonales por el teorema de cosenos:

d1 = √a2 + d2 - 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 - 2ac·cos β

2. Fórmulas de las diagonales a través de los cuatro lados:
d1 =  d 2 + ab -  a(d 2 - c2)       d2 =  c2 + ab -  a(c2 - d 2)
a - ba - b
3. Fórmula de la longitud de las diagonales a través de la altura:

d1 = √h2 + (a - h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a - h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Fórmulas de longitud de la diagonal a través de la suma de los cuadrados de diagonales:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab - d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab - d12


Área del trapecio

Fórmulas para hallar el área del trapecio:

1. Fórmula del área a través de la base y la altura:
A = (a + b) · h
2
2. Fórmula del área a través de la mediana y la altura:

A = m · h

3. Fórmula del área a través de las diagonales y el ángulo entre ellas:
A = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
22
4. Fórmula del área a través de los cuatro lados:
A = a + bc2 - ((a - b)2 + c2 - d 2)2
22(a - b)
5. Fórmula de Herón para el trapecio
A = a + b(s - a)(s - b)(s - a - c)(s - a - d)
|a - b|
donde
s = a + b + c + d  - trapecio semiperimetro.
2

Perímetro del trapecio

Fórmula para hallar el perímetro del trapecio:

1. Fórmula del perímetro a través de las bases:

P = a + b + c + d


Circunferencia circunscrita alrededor del trapecio

¡¡¡Se puede circunscribir la circunferencia sólo alrededor del trapecio isósceles!!!

Fórmula para hallar el radio de la circunferencia circunscrita alrededor del trapecio:

1. Fórmula del radio a través de los lados y la diagonal:

R = a·c·d1
4√p(p - a)(p - c)(p - d1)
donde
p = a + c + d1
2
a - la base mayor

Circunferencia inscrita en el trapecio

Se puede inscribir la circunferencia en el trapecio si la suma de las longitudes de las bases equivale a la suma de las longitudes de los lados laterales:

a + b = c + d

Fórmula para hallar el radio de la circunferencia circunscrita en el trapecio

1. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita a través de la altura:

r = h
2

Otros segmentos del trapecio escaleno

Fórmulas para hallar las longitudes de los segmentos que pasan por el trapecio:

1. Fórmula para hallar las longitudes de los segmentos que pasan por el trapecio:
KM = NL = b       KN = ML = a       TO = OQ = a · b
22a + b

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