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Polígono regular. Fórmulas, características y propiedades del polígono regular

Definición. Polígono regular es un polígono cuyos lados o ángulos son iguales (congruentes) entre sí.
Se denomina polígono a una parte del área que está limitada por una línea poligonal cerrada que no se cruza.
Los polígonos se diferencian por el número de lados y ángulos.
Imagen de un polígono regular con símbolos Imagen de un polígono regular con símbolos
Fig.1 Fig.2

Características del polígono regular

Será regular un polígono si se cumple por lo menos una de las condiciones siguientes:
1. Todos sus lados son iguales:
a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = an
2. Todos sus ángulos son iguales:
α1 = α2 = α3 = ... = αn-1 = αn

Propiedades esenciales del polígono regular

1. Todos sus lados son iguales:
a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = an
2. Todos sus ángulos son iguales:
α1 = α2 = α3 = ... = αn-1 = αn
3. El centro de la cincunferencia iscrtita coincide con el centro de la circunferencia circunscrita y forman el centro del polígono O.
4. Suma de todos los ángulos del polígono de n-vértices equivale a:

180° · (n - 2)

5. Suma de todos los ángulos exteriores del polígono de n-vértices equivale a 360°:

β1 + β2 + β3 + ... + βn-1 + βn = 360°

6. Número de diagonales (Dn) del polígono de n-vértices equivale a la mitad del producto del número de vértices por el número de diagonales salientes de cada vértice:
Dn = n · (n - 3)
2
7. En cualquier polígono se puede inscribir una circunferencia y circunscribir un círculo y en este caso el área del anillo formada por estas circunferencias depende sólo de la longitud del lado del polígono:
S = πa2
4
8. Todas las bisectrices de los ángulos entre los lados son iguales y pasan por el centro del polígono regular O

Polígono regular – fórmulas

Fórmulas de la longitud del lado del polígono regular

1. Fórmula del lado del polígono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:
a = 2r · tg 180°
n
a = 2r · tgπ
n
2. Fórmula del lado del polígono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:
a = 2 R · sin 180°
n
a = 2 R · sinπ
n

Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del polígono regular

Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del polígono regular a través de la longitud del lado:
r = a : (2tg 180°)
n
r = a : (2tg π)
n

Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del polígono regular

Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del polígono regular a través de la longitud del lado:
R = a : (2sin 180°)
n
R = a : (2sin π)
n

Fórmulas del área del polígono regular

1. Fórmula del área del polígono regular a través de la longitud del lado:
S = na2 · ctg180°
4n
2. Fórmula del área del polígono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:
S = nr2 · tg180°
n
3. Fórmula del área del polígono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:
S = nR2 · sin360°
2n

Fórmula del perímetro del polígono regular:

Fórmula del perímetro del polígono regular:

P = na

Fórmula para hallar el ángulo entre los lados del polígono regular:

Fórmula para hallar el ángulo entre los lados del polígono regular:
αn = n - 2 · 180°
n

Imagen del triángulo equilátero con símbolos
Рис.3

Triángulo equilátero

Fórmulas del triángulo equilatero:

1. Fórmula del lado del triángulo equilátero a través del radio de a circunferencia inscrita:

a = 2r 3

2. Fórmula del lado del triángulo equilátero a través del radio de a circunferencia circunscrita:

a = R√3

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del triángulo equilátero a través de la longitud un lado:
r = a3
6
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del triángulo equilátero a través de la longitud un lado:
R = a3
3
5. Fórmula del área del triángulo equilátero a través de la longitud de un lado:
S = a23
4
6. Fórmula del área del triángulo equilátero a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = r2 3√3

7. Fórmula del área del triángulo equilátero a través del radio de la circunferencia circunscrita:
S = R2 3√3
4
8. Ángulo entre los lados del triángulo equilátero:

α = 60°


Imagen del cuadrilátero regular con símbolos
Рис.4

Cuadrilátero regular

El cuadrilátero regular es un cuadrado.

Fórmulas del cuadrilátero regular:

1. Fórmula del lado del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

a = 2r

2. Fórmula del lado del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

a = R√2

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del cuadrilátero regular a través de la longitud de un lado:
r = a
2
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero regular a través de la longitud de un lado:
R = a2
2
5. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través de la longitud de un lado:

S = a2

6. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = 4 r2

7. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

S =  2 R2

8. Ángulo entre los lados del cuadrilátero regular:

α = 90°


Hexágono regular

Fórmulas del hexágono regular:

1. Fórmula del lado del hexágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:
a = 2√3r
3
2. Fórmula del lado del hexágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

a = R

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del hexágono regular a través de la longitud de un lado:
r = a3
2
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del hexágono regular a través de la longitud de un lado:

R = a

5. Fórmula del área del hexágono regular a través de la longitud de un lado:
S = a2 3√3
2
6. Fórmula del área del hexágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = r2 2√3

7. Fórmula del área del hexágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:
S = R2 3√3
2
8. Ángulo entre los lados del hexángulo regular:

α = 120°


Octángono regular

Fórmulas del octángono regular:

1. Fórmula del lado del octágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

a = 2r · (√2 - 1)

2. Fórmula del lado del octágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

a = R√2 - √2

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del octágono regular a través de la longitud de un lado:
r = a(√2 + 1)
2
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del octágono regular a través de la longitud de un lado:
R = a4 + 2√2
2
5. Fórmula del área del octágono regular a través de la longitud de un lado:

S = a2 2(√2 + 1)

6. Fórmula del área del octágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = r2 8(√2 - 1)

7. Fórmula del área del octágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

S = R2 2√2

8. Ángulo entre los lados del octángulo regular:

α = 135°

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