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Ángulo entre la recta y el plano

Ángulo entre la recta y el plano
Definición.
El ángulo entre la recta y el plano es un ángulo entre la recta y su proyección sobre este plano.

Fórmula para hallar el ángulo entre la recta y el plano

Si en el plano tenemos dados el vector director de la recta L

s = {l; m; n}

y la ecuación del plano

Ax + By + Cz + D = 0,

entonces el ángulo entre esta recta y el plano se puede hallar aplicando la fórmula

sin φ | A · l + B · m + C · n |
A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

Deducción de la fórmula para hallar el ángulo entre la recta y el plano

Desde la ecuación de la recta se puede hallar el vector director de la recta

s = {l; m; n}

Desde la ecuación del plano el vector normal al plano tiene el aspecto siguiente

q = {A; B; C}

Desde las fórmulas del producto escalar de vectores vamos a hallar el coseno del ángulo entre el normal al plano y el vector director de la recta

cos ψ | q · s |
| s | · |q |

Ya que φ = 90° - ψ, entonces el seno del ángulo entre la recta y el plano es sin φ = cos ψ.

Expresando el producto escalar de vectores y el módulo de vectores por medio de sus coordenadas vamos a obtener una fórmula para hallar el ángulo entre la recta y el plano.


Ejemplo de como hallar el ángulo entre la recta y el plano

Ejemplo 1.
Hallar el ángulo entre la recta
x - 4  =  y + 2  = -  z - 6
2 6 3
y el plano x - 2y + 3z + 4 = 0.

Solución.

Desde la ecuación de la recta vamos a hallar el vector director

s = {2; 6; -3}

Desde la ecuación del plano vamos a hallar el vector normal al plano

q = {1; -2; 3}

Utilizando la fórmula vamos a hallar el ángulo entre la recta y el plano

sin φ | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |  =
22 + 62 + (-3)2 · √12 + (-2)2 + 32
sin φ | 2 - 12 - 9 |  =  19  =  19
4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9 49 · √14 7√14
Resultado: 
sin φ 19
7√14

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