Ángulo entre la recta y el plano

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Definición.

El ángulo entre la recta y el plano es un ángulo entre la recta y su proyección sobre este plano.

Fórmula para hallar el ángulo entre la recta y el plano

Si en el plano tenemos dados el vector director de la recta L

s = {l; m; n}

y la ecuación del plano

Ax + By + Cz + D = 0,

entonces el ángulo entre esta recta y el plano se puede hallar aplicando la fórmula

sin φ =	\| A · l + B · m + C · n \|
	√A² + B² + C² · √l² + m² + n²

Desde la ecuación de la recta se puede hallar el vector director de la recta

s = {l; m; n}

Desde la ecuación del plano el vector normal al plano tiene el aspecto siguiente

q = {A; B; C}

Desde las fórmulas del producto escalar de vectores vamos a hallar el coseno del ángulo entre el normal al plano y el vector director de la recta

cos ψ =	\| q · s \|
	\| s \| · \|q \|

Ya que φ = 90° - ψ, entonces el seno del ángulo entre la recta y el plano es sin φ = cos ψ.

Expresando el producto escalar de vectores y el módulo de vectores por medio de sus coordenadas vamos a obtener una fórmula para hallar el ángulo entre la recta y el plano.

Ejemplo 1.

Hallar el ángulo entre la recta

x - 4	=	y + 2	= -	z - 6
2	=	6	= -	3

y el plano x - 2y + 3z + 4 = 0.

Solución.

Desde la ecuación de la recta vamos a hallar el vector director

s = {2; 6; -3}

Desde la ecuación del plano vamos a hallar el vector normal al plano

q = {1; -2; 3}

Utilizando la fórmula vamos a hallar el ángulo entre la recta y el plano

sin φ =	\| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 \|	=
	√2² + 6² + (-3)² · √1² + (-2)² + 3²

sin φ =	\| 2 - 12 - 9 \|	=	19	=	19
	√4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9		√49 · √14		7√14

Resultado:

sin φ =	19
	7√14

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