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Distancia de un punto a una recta en espacio

Distancia de un punto a una recta
Definición.
Distancia de un punto a una recta equivale a la longitud del perpendicular, bajado del punto sobre la recta.

Fórmula para hallar la distancia de un punto a la recta en espacio

Si s = {m; n; p} - vector director de la recta l, M1(x1, y1, z1) - punto que está en la recta, entonces ditancia del punto M0(x0, y0, z0) a la recta l se puede calcular, utilizando la fórmula

d |M0M1×s|
|s|

Deducción de la fórmula para hallar la distancia de un punto a la recta en espacio

Si hay dada ecuación de la recta l, entonces es fácil calcular s = {m; n; p} - vector director de la recta y M1(x1, y1, z1) - coordenadas del punto que está en está recta. De las propiedades del producto vectorial se sabe que el módulo del producto vectorial equivale a la área del paralelogramo hecho en estos vectores

S = |M0M1×s|.

De otro lado el área del paralelogramo equivale al producto de su lado por la altura trazada hacia este lado

S = |s|d.

En nuestro caso la altura va a equivaler a la distancia del punto hacia plano d, y el lado del paralelogramo equivale al módulo del vector director s.

Al equiparar las áreas no es nada difícil sacar la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

Ejemplos de los problemas para hallar la distancia de un punto a la recta en espacio

Ejemplo 1.
Calcular distancia entre el punto M(0, 2, 3) y la recta

x - 3  =  y - 1  =  z + 1
2 1 2

Solución.

De ecuación de la recta sacamos:

s = {2; 1; 2} - vector director de la recta;
M1(3; 1; -1) - el punto que está sobre la recta.

Entonces

M0M1 = {3 - 0; 1 - 2; -1 - 3} = {3; -1; -4}

M0M1×s i j k  = 
  3    -1    -4  
  2    1    2  

= i ((-1)·2 - (-4)·1) - j (3·2 - (-4)·2) + k (3·1 -(-1)·2) = {2; -14; 5}

d |M0M1×s|  =  22 + (-14)2 + 52  =  225  =  15  = 5
|s| 22 + 12 + 22 9 3

Resultado: distancia del punto a la recta equivale a 5.

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