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Distacia entre dos puntos

Definición. Distancia entre dos puntos es la longitud de un segmento que une estos puntos.

Fórmulas para hallar la distancia entre dos puntos:

  • Fórmulas para hallar la distancia entre dos puntos A(xaya) y B(xbyb) en plano:
    AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2
  • Fórmulas para hallar la distancia entre dos puntos A(xayaza) y B(xbybzb) en espacio:
    AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2

Deducción de la fórmula para hallar la distancia entre dos puntos en plano

Distancia entre dos puntos en plano

A partir de los puntos A y B vamos a bajar una perpendiculares sobre el eje de coordenadas.

Vamos a ver el triángulo rectángulo ∆ABC. Los catetos de éste son iguales:

AC = xb - xa;
BC = yb - ya.

Utilizando el teorema de Pitágoras vamos a hallar la longitud del segmento AB:

AB = √AC2 + BC2.

Utilizando en esta expresión las longitudes de los segmentos AC y BC, expresados por medio de las coordenadas A y B, obtendremos una fórmula para hallar la distancia entre dos puntos en plano.

Fórmula para hallar la distancia entre dos puntos en plano se deduce analógicamente.

Ejemplos de los problemas para hallar la distancia entre dos puntos

Ejemplo de como hallar la distancia entre dos puntos en plano

Ejemplo 1.
Hallar la distancia entre los puntos A(-1, 3) y B(6,2).

Solución.

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 = √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 = √72 + 12 = √50 = 5√2

Resultado: AB = 5√2.


Ejemplo de como hallar la distancia entre dos puntos en espacio

Ejemplo 2.
Hallar la distancia entre los puntos A(-1, 3, 3) y B(6, 2, -2).

Solución.

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2 =

= √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 + (-2 - 3)2 = √72 + 12 + 52 = √75 = 5√3

Resultado: AB = 5√3.

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