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Diferencia de cubos

Definición.
Diferencia de cubos de dos términos es igual al producto de la diferencia de estos términos por el cuadrado imperfecto de la suma de estos términos:
a3 - b3 = (a - b)·(a2 + ab + b2)

Deducción de la fórmula de diferencia de cubos

Para comprobar la validez de la fórmula de la diferencia de cubos es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis:

(a - b)·(a2 + ab + b2) =

= a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3 = a3 - b3

Aplicación de la fórmula de diferencia de cubos

Es conveniente utilizar la fórmula de diferencia de cubos para:
  • descomponer en factores
  • para la simplificación de las expresiones

Ejemplos de problemas sobre aplicación de la fórmula de la diferencia de cubos

Ejemplo 1.
Descomponer en factores x3 - 27.

Solución:

x3 - 27 = x3 - 33 = (x - 3)·(x2 + 3x + 9)
Ejemplo 2.
Descomponer en factores 8x3 - 27y6.

Solución:

8x3 - 27y6 = (2x)3 - (3y2)3 =

= (2x - 3y2)·(4x2 + 6xy2 + 9y4)
Ejemplo 3.
Simplificar la expresión 27x3 - 13x - 1.

Solución:

Se puede notar que para la expresión en el numerador se puede utilizar la fórmula de la diferencia de cubos

27x3 - 13x - 1 = (3x - 1)·(9x2 + 3x +1)3x - 1 = 9x2 + 3x +1

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