OnlineMSchool
Aprendizaje de matemáticas online.
Estudiar matemáticas con nosotros. "¡Matemáticas – es fácil!"

Cuadrado de una suma

Definición.
Cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero y el segundo, más el cuadrado del segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Deducción de la fórmula de cuadrado de una suma

Para comprobar la validez de la fórmula del cuadrado de una suma es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis:

(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Aplicación de la fórmula de cuadrado de una suma

Es conveniente utilizar la fórmula de cuadrado de una suma para:
  • abrir los paréntesis
  • para simplificación de las expresiones
  • para calcular los cuadrados de unos números grandes sin utilizar calculadora o el multiplicación larga

Interpretación geométrica

La fórmula de cuadrado de la suma de dos números positivos a y b se puede expresar geométricamente

Vamos a ver un cuadrado con el lado (a + b), su área es (a + b)2.

En los ángulos opuestos del cuadrado actual construyamos otros cuadrados con los lados a y b.

Entonces el gran cuadrado inicial será dividido en cuatro partes: dos cuadrados con las áreas a2 y b2, y también dos rectángulos con las áreas ab. Entonces, como resultado tenemos

(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + b2 + ab+ ab = a2 + 2ab + b2


Ejemplos de problemas sobre aplicación de la fórmula de cuadrado de una suma

Ejemplo 1.
Abrir los paréntesis (x + 3)2.

Solución:

(x + 3)2 = x2 + 2·3·x + 32 = x2 + 6x + 9
Ejemplo 2.
Abrir los paréntesis (2x + 3y2)2.

Solución:

(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2·(2x)·(3y2) + (3y2)2 = 4x2 + 12xy2 + 9y4
Ejemplo 3.
Simplificar la expresión 9x2 + 6x + 1(3x + 1).

Solución:

Se puede notar que la expresión en el numerador es el cuadrado de una suma descompuesto

9x2 + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)2(3x + 1) = 3x + 1
Señalemos que con la ayuda de la fórmula de cuadrado de una suma es muy fácil de calcular cuadrados de los números grandes sin usar calculadora o el multiplicación larga.
Ejemplo 4.
Calcular 712.

Solución:

712 = (70 + 1)2 = 702 + 2·70·1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041

Dejar comentario