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Cubo de una suma

Diferencia.
Cubo de una suma de dos términos es igual al cubo del primero más el triple producto del cuadrado del primero y del segundo término más el triple producto del cuadrado del segundo y el primer término más el cubo del segundo término:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Deducción de la fórmula del cubo de una suma

Para comprobar la validez de la fórmula de la suma de cubos es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis:

(a + b)3 = (a + b)·(a + b)2 =

= (a + b)·(a2 + 2ab + b2) =

= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2b2a + b3 =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Aplicación de la fórmula del cubo de una suma

Es conveniente utilizar la fórmula de suma de cubos para:
  • abrir los paréntesis
  • para simplificación de las expresiones
  • descomposición en factores

Ejemplos de problemas sobre aplicación de la fórmula de cubo de una suma

Ejemplo 1.
Abrir los paréntesis (x + 3)3.

Solución:

(x + 3)3 = x3 + 3·3·x2 + 3·32·x + 33 =

= x3 + 9x2 + 27x + 27
Ejemplo 2.
Abrir los paréntesis (2x + 3y2)3.

Solución:

(2x + 3y2)3 =

= (2x)3 + 3·(2x)2·(3y2) + 3·(2x)·(3y2)2 + (3y2)3 =

= 8x3 + 36x2y2 + 54xy4 + 27y6
Ejemplo 3.
Simplificar la expresión 27x3 + 27x2 + 9x +19x2 + 6x + 1.

Solución:

Se puede notar que la expresión en el numerador es cubo de una suma descompuesto, y en el denominador es cuadrado de suma

27x3 + 27x2 + 9x +19x2 + 6x + 1 = (3x + 1)3(3x + 1)2 = 3x + 1

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