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Cubo de una diferencia

Definición.
Cubo de una diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Deducción de la fórmula del cubo de la una diferencia

Para comprobar la validez de la fórmula del cubo de una diferencia es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis:

(a - b)3 = (a - b)·(a - b)2 =

= (a - b)·(a2 - 2ab + b2) =

= a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2b2a - b3 =

= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Aplicación de la fórmula del cubo de una diferencia

Es conveniente utilizar la fórmula del cubo de una diferencia para:
  • abrir los paréntesis
  • para simplificación de las expresiones

Ejemplos de problemas sobre aplicación de la fórmula del cubo de una diferencia

Ejemplo 1.
Abrir los paréntesis (x - 3)3.

Solución. Para resolver utilicemos la fórmula del cubo de una diferencia:

(x - 3)3 = x3 - 3·3·x2 + 3·32·x - 33 =

= x3 - 9x2 + 27x - 27
Ejemplo 2.
Abrir los paréntesis (2x - 3y2)3.

Solución. Para resolver utilicemos la fórmula del cubo de una diferencia:

(2x - 3y2)3 =

= (2x)3 - 3·(2x)2·(3y2) + 3·(2x)·(3y2)2 - (3y2)3 =

= 8x3 - 36x2y2 + 54xy4 - 27y6
Ejemplo 3.
Simplificar la expresión 27x3 - 27x2 + 9x - 19x2 - 6x + 1.

Solución:

Se puede notar que la expresión en el numerador es cubo de una diferencia descompuesto, y en el denominador es el cuadrado de una diferencia.

27x3 - 27x2 + 9x - 19x2 - 6x + 1 = (3x - 1)3(3x - 1)2 = 3x - 1

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