Cubo de una diferencia

• Cubo de una diferencia – definición
• Deducción de la fórmula del cubo de una diferencia
• Aplicación de la fórmula del cubo de una diferencia
• Ejemplos de problemas sobre aplicación de la fórmula de cubo de una diferencia

Cubo de una diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Para comprobar la validez de la fórmula del cubo de una diferencia es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis:

(a - b)³ = (a - b)·(a - b)² =

= (a - b)·(a² - 2ab + b²) =

= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2b²a - b³ =

= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Es conveniente utilizar la fórmula del cubo de una diferencia para:

• abrir los paréntesis
• para simplificación de las expresiones

Abrir los paréntesis (x - 3)³.

Solución. Para resolver utilicemos la fórmula del cubo de una diferencia:

(x - 3)³ = x³ - 3·3·x² + 3·3²·x - 3³ =

= x³ - 9x² + 27x - 27

Abrir los paréntesis (2x - 3y²)³.

Solución. Para resolver utilicemos la fórmula del cubo de una diferencia:

(2x - 3y²)³ =

= (2x)³ - 3·(2x)²·(3y²) + 3·(2x)·(3y²)² - (3y²)³ =

= 8x³ - 36x²y² + 54xy⁴ - 27y⁶

Simplificar la expresión 27x³ - 27x² + 9x - 19x² - 6x + 1.

Solución:

Se puede notar que la expresión en el numerador es cubo de una diferencia descompuesto, y en el denominador es el cuadrado de una diferencia.

27x³ - 27x² + 9x - 19x² - 6x + 1 = (3x - 1)³(3x - 1)² = 3x - 1