Polígono regular. Fórmulas, características y propiedades del polígono regular

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Definición. Polígono regular es un polígono cuyos lados o ángulos son iguales (congruentes) entre sí.

Se denomina polígono a una parte del área que está limitada por una línea poligonal cerrada que no se cruza.

Los polígonos se diferencian por el número de lados y ángulos.


Fig.1		Fig.2

Características del polígono regular

Será regular un polígono si se cumple por lo menos una de las condiciones siguientes:

1. Todos sus lados son iguales:
a₁ = a₂ = a₃ = ... = a_n-1 = a_n

2. Todos sus ángulos son iguales:
α₁ = α₂ = α₃ = ... = α_n-1 = α_n

Propiedades esenciales del polígono regular

1. Todos sus lados son iguales:
a₁ = a₂ = a₃ = ... = a_n-1 = a_n

2. Todos sus ángulos son iguales:
α₁ = α₂ = α₃ = ... = α_n-1 = α_n

3. El centro de la cincunferencia iscrtita coincide con el centro de la circunferencia circunscrita y forman el centro del polígono O.

4. Suma de todos los ángulos del polígono de n-vértices equivale a:

180° · (n - 2)

5. Suma de todos los ángulos exteriores del polígono de n-vértices equivale a 360°:

β₁ + β₂ + β₃ + ... + β_n-1 + β_n = 360°

6. Número de diagonales (D_n) del polígono de n-vértices equivale a la mitad del producto del número de vértices por el número de diagonales salientes de cada vértice:

D_n =	n · (n - 3)
	2

7. En cualquier polígono se puede inscribir una circunferencia y circunscribir un círculo y en este caso el área del anillo formada por estas circunferencias depende sólo de la longitud del lado del polígono:

S =	π	a²
	4

8. Todas las bisectrices de los ángulos entre los lados son iguales y pasan por el centro del polígono regular O

Polígono regular – fórmulas

Fórmulas de la longitud del lado del polígono regular

1. Fórmula del lado del polígono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

a = 2r · tg	180°
	n

a = 2r · tg	π
	n

2. Fórmula del lado del polígono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

a = 2 R · sin	180°
	n

a = 2 R · sin	π
	n

Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del polígono regular

Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del polígono regular a través de la longitud del lado:

r = a : (2tg	180°	)
	n

r = a : (2tg	π	)
	n

Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del polígono regular

Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del polígono regular a través de la longitud del lado:

R = a : (2sin	180°	)
	n

R = a : (2sin	π	)
	n

Fórmulas del área del polígono regular

1. Fórmula del área del polígono regular a través de la longitud del lado:

S =	na²	· ctg	180°
	4		n

2. Fórmula del área del polígono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

S =	nr² · tg	180°
		n

3. Fórmula del área del polígono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

S =	nR²	· sin	360°
	2		n

Fórmula del perímetro del polígono regular:

P = na

Fórmula para hallar el ángulo entre los lados del polígono regular:

α_n =	n - 2	· 180°
	n

Рис.3

Triángulo equilátero

Fórmulas del triángulo equilatero:

1. Fórmula del lado del triángulo equilátero a través del radio de a circunferencia inscrita:

a = 2r √3

2. Fórmula del lado del triángulo equilátero a través del radio de a circunferencia circunscrita:

a = R√3

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del triángulo equilátero a través de la longitud un lado:

r =	a√3
	6

4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del triángulo equilátero a través de la longitud un lado:

R =	a√3
	3

5. Fórmula del área del triángulo equilátero a través de la longitud de un lado:

S =	a²√3
	4

6. Fórmula del área del triángulo equilátero a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = r² 3√3

7. Fórmula del área del triángulo equilátero a través del radio de la circunferencia circunscrita:

S =	R² 3√3
	4

8. Ángulo entre los lados del triángulo equilátero:

α = 60°

Рис.4

Cuadrilátero regular

El cuadrilátero regular es un cuadrado.

Fórmulas del cuadrilátero regular:

1. Fórmula del lado del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

a = 2r

2. Fórmula del lado del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

a = R√2

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del cuadrilátero regular a través de la longitud de un lado:

r =	a
	2

4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero regular a través de la longitud de un lado:

R =	a√2
	2

5. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través de la longitud de un lado:

S = a²

6. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = 4 r²

7. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

S = 2 R²

8. Ángulo entre los lados del cuadrilátero regular:

α = 90°

Véase también fórmulas y propiedades del cuadrádo

Hexágono regular

Fórmulas del hexágono regular:

1. Fórmula del lado del hexágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

a =	2√3	r
	3

2. Fórmula del lado del hexágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

a = R

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del hexágono regular a través de la longitud de un lado:

r =	a√3
	2

4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del hexágono regular a través de la longitud de un lado:

R = a

5. Fórmula del área del hexágono regular a través de la longitud de un lado:

S =	a² 3√3
	2

6. Fórmula del área del hexágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = r² 2√3

7. Fórmula del área del hexágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

S =	R² 3√3
	2

8. Ángulo entre los lados del hexángulo regular:

α = 120°

Octángono regular

Fórmulas del octángono regular:

1. Fórmula del lado del octágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

a = 2r · (√2 - 1)

2. Fórmula del lado del octágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

a = R√2 - √2

3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del octágono regular a través de la longitud de un lado:

r =	a(√2 + 1)
	2

4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del octágono regular a través de la longitud de un lado:

R =	a√4 + 2√2
	2

5. Fórmula del área del octágono regular a través de la longitud de un lado:

S = a² 2(√2 + 1)

6. Fórmula del área del octágono regular a través del radio de la circunferencia inscrita:

S = r² 8(√2 - 1)

7. Fórmula del área del octágono regular a través del radio de la circunferencia circunscrita:

S = R² 2√2

8. Ángulo entre los lados del octángulo regular:

α = 135°

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