Punto medio de un segmento. Coordendas del punto medio de un segmento
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Definición.
Punto medio de un segmento es un punto que está sobre el segmento y se ubica a la distancia igual de los puntos extremos.
En los problemas geométricas son frecuentes los casos cuando es necesario hallar el punto medio de un segmento dado expresado con dos puntos de sus extremos, por ejemplo, en los problemas sobre la mediana, la línea media, ...
Cada una de las coordenadas del punto medio de un segmento es igual a la semisuma de las coordenadas respectivas de sus extremos.
Fórmulas para hallar el punto medio de un segmento:
- Fórmulas para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento con extremos A(xa, ya) y B(xb, yb) en plano:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Fórmulas para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento con extremos A(xa, ya, za) y B(xb, yb, zb) en espacio:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Ejemplos de los problemas de hallar el punto medio de un segmento
Ejemplos de los problemas de hallar el punto medio de un segmento en plano
Ejemplo 1.
Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados puntos A(-1, 3) y B(6, 5).
Solución.
xc = |
xa + xb |
= | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
yc = |
ya + yb |
= | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Resultado: С(2.5, 4).
Ejemplo 2.
Hallar las coordenadas del punto B si son conocidos los puntos A(-1, 3) y puntos C(1; 5) del punto medio del segmento AB.
Solución.
xc = |
xa + xb |
=> xb = 2xc - xa = 2·1 - (-1) = 2 + 1 = 3 |
| 2 |
yc = |
ya + yb |
=> yb = 2yc - ya = 2·5 - 3 = 10 - 3 = 7 |
| 2 |
Resultado: B(3, 7).
Ejemplos de los problemas de hallar el punto medio de un segmento en espacio
Ejemplo 3.
Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los dados puntos A(-1, 3, 1) y B(6, 5, -3).
Solución.
xc = |
xa + xb |
= | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
yc = |
ya + yb |
= | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
zc = |
za + zb |
= | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Resultado: С(2.5, 4, -1).
Ejemplo 4.
Hallar las coordenadas del punto B si son conocidos los puntos A(-1, 3, 10) y puntos C(1, 5, 2) del punto medio del segmento AB.
Solución.
xc = |
xa + xb |
=> xb = 2xc - xa = 2·1 - (-1) = 2 + 1 = 3 |
| 2 |
yc = |
ya + yb |
=> yb = 2yc - ya = 2·5 - 3 = 10 - 3 = 7 |
| 2 |
zc = |
za + zb |
=> zb = 2zc - za = 2·2 - 10 = 4 - 10 = -6 |
| 2 |
Resultado: B(3, 7, -6).
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