Intersección de dos rectas. Punto de intersección de dos rectas

Métodos de resolución. Existen dos métodos de resolución de ejercicios de plano sobre el tema de determinar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas:

• gráfico
• analítico

Método gráfico de resolución. Utilizando ecuaciones se tiene que trazar un gráfico de las rectas y con ayuda de la regla encontrar coordenadas del punto de intersección.

Método analítico de resolución. Es necesario unir las ecuaciones de dos rectas en un sistema cuya resolución dejará determinar las coordenadas exactas del punto de intersección de dos rectas.

Si el sistema de ecuaciones:

• tiene la única resolución, entonces las rectas se intersecan;
• tiene un conjunto infinito de resoluciones, entonces las rectas son coincidentes;
• no tiene resolución, entonces las rectas no se intersecan (son paralelas entre si)

Ejemplo 1. Entontrar el punto de intersección de dos rectas y = 2x - 1 y y = -3x + 1.

Solución: Para calcular las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, resolvamos el sistema de ecuaciones:

y = 2x - 1 y = -3x + 1

De la primera ecuación substraigamos la segunda

y - y = 2x - 1 - (-3x + 1) y = -3x + 1     =>     0 = 5x - 2 y = -3x + 1

De la primera ecuación calculemos el valor de x

5x = 2 y = -3x + 1     =>     x = 25 = 0.4 y = -3x + 1

Utilicemos el valor de x en la segunda ecuación y calculemos el valor de y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Resultado. El punto de intersección de dos rectas tiene las coordenadas (0.4, -0.2)

Ejemplo 2. Entontrar el punto de intersección de dos rectas y = 2x - 1 y x = 2t + 1y = t.

Solución: Para calcular las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, resolvamos el sistema de ecuaciones:

y = 2x - 1 x = 2t + 1 y = t

Utilicemos el valor de x en la primera ecuación el valor de y de la segunda y tercera ecuación.

t = 2·(2t + 1) - 1 x = 2t + 1 y = t     =>     t = 4t + 1 x = 2t + 1 y = t     =>    

-3t = 1 x = 2t + 1 y = t     =>     t = -13 x = 2t + 1 y = t

Utilicemos el valor de t en la segunda y tercera ecuación

t = -13 x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13 y = -13

Resultado. El punto de intersección de dos rectas tiene las coordenadas (13, -13)

Ejemplo 3 Entontrar el punto de intersección de dos rectas 2x + 3y = 0 y x - 23 = y4.

Solución: Para calcular las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, resolvamos el sistema de ecuaciones:

2x + 3y = 0 x - 23 = y4

De la segunda ecuación expresemos y por x

2x + 3y = 0 y = 4·x - 23

Utilicemos y en la primera ecuación

2x + 3·4·x - 23 = 0 y = 4·x - 23     =>     2x + 4·(x - 2) = 0 y = 4·x - 23     =>    

2x + 4x - 8 = 0 y = 4·x - 23     =>     6x = 8 y = 4·x - 23     =>    

x = 86 = 43 y = 4·x - 23     =>     x = 86 = 43 y = 4·4/3 - 23 = 4·-2/3 3 = -89

Resultado. El punto de intersección de dos rectas tiene las coordenadas (43, -89)

Ejemplo 4. Entontrar el punto de intersección de dos rectas y = 2x - 1 y y = 2x + 1.

Solución: Las dos rectas están expresadas con las ecuaciones con la pendiente. Ya que k₁ = k₂ = 2, entonces las rectas son paralelas. Ya que estas rectas no coinciden, entonces no hay puntos de intersección.

Asimismo resolvamos este ejercicio utilizando el sistema de ecuaciones:

y = 2x - 1 y = 2x + 1

De la primera ecuación substraigamos la segunda

y - y = 2x - 1 - (2x + 1) y = -3x + 1     =>     0 = -2 y = -3x + 1

En la primera ecuación nos espera una contrariedad (0 ≠ -2), lo que significa que el sistema no tiene resolución – no hay puntos de intersección de dos rectas (las rectas son paralelas).

Resultado. Rectas no se intersecan (las rectas son papalelas).

Ejemplo 5. Verificar si el punto N(1, 1) es el punto de intersección de dos rectas y = x y y = 3x - 2.

Solución: Utilicemos las coordenadas del punto N en las ecuaciones de las rectas.

1 = 1

1 = 3·1 - 2 = 1

Resultado. Ya que las dos ecuaciones se han convertido en identidades, entonces el punto N es el punto de intersección de estas rectas.

Método de resolución. Para determinar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en espacio es necesario unir las ecuaciones de las rectas en un sistema cuya resolución dejará determinar las coordenadas exactas del punto de intersección de dos rectas.

Si el sistema de ecuaciones:

• tiene la única resolución, entonces las rectas se intersecan;
• tiene un conjunto infinito de resoluciones, entonces las rectas son coincidentes;
• no tiene resolución, entonces las rectas no se intersecan (son paralelas o se cruzan)

Ejemplo 6. Entontrar el punto de intersección de dos rectas x - 1 = y - 1 = z - 1 y x - 3-2 = 2 - y = z.

Solución: Hagamos un sistema de ecuaciones

x - 1 = a y - 1 = a z - 1 = a x - 3-2 = b 2 - y = b z = b   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3-2 = b 2 - y = b z = b   =>  

Utilicemos el valor de x, y, z de las ecuaciones 1, 2, 3 en las ecuaciones 4, 5, 6

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3-2 = b 2 - (a + 1) = b a + 1 = b   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = b 1 - a = b a + 1 = b

A la sexta ecuación sumemos la quinta ecuación

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = b 1 - a = b a + 1 + (1 - a) = b + b   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = b 1 - a = b b = 1

Utilicemos el valor de b en la cuarta y la quinta ecuación

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = 1 1 - a = 1 b = 1   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 a = 0 b = 1   =>  

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1   =>   x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Resultado. Las rectas se intersecan en el punto con las coordenadas (1, 1, 1).

Nota. Si las ecuaciones de las rectas se presentan paramétricamente y en ambas ecuaciones el parámetro se presenta con una misma letra, entonces al hacer el sistema en una de las ecuaciones es necesario cambiar la letra que representa al parámetro.

Ejemplo 7. Entontrar el punto de intersección de dos rectas x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 y x = t + 1 y = 3t - 2 z = 3 .

Solución: Hagamos el sistema de ecuaciones y cambiemos el parámetro t por a en la segunda ecuación

x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 x = a + 1 y = 3a - 2 z = 3

Utilicemos el valor de x, y, z de las ecuaciones 1, 2, 3 en las ecuaciones 4, 5, 6

x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 2t - 3 = a + 1 t = 3a - 2 -t + 2 = 3   =>   x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 2t = a + 4 t = 3a - 2 t = -1   =>  

Utilicemos el valor de t de la sexta ecuación en las demás ecuaciones

x = 2·(-1) - 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3a - 2 t = -1   =>   x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 13 t = -1

Resultado. Ya que -6 ≠ 13, entonces las rectas no se intersecan.