Cubo de una suma

• Cubo de una diferencia – suma
• Deducción de la fórmula del cubo de una suma
• Aplicación de la fórmula del cubo de una suma
• Ejemplos de problemas sobre aplicación de la fórmula de cubo de una suma

Cubo de una suma de dos términos es igual al cubo del primero más el triple producto del cuadrado del primero y del segundo término más el triple producto del cuadrado del segundo y el primer término más el cubo del segundo término: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Para comprobar la validez de la fórmula de la suma de cubos es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis:

(a + b)³ = (a + b)·(a + b)² =

= (a + b)·(a² + 2ab + b²) =

= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2b²a + b³ =

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Es conveniente utilizar la fórmula de suma de cubos para:

• abrir los paréntesis
• para simplificación de las expresiones
• descomposición en factores

Abrir los paréntesis (x + 3)³.

Solución:

(x + 3)³ = x³ + 3·3·x² + 3·3²·x + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

Abrir los paréntesis (2x + 3y²)³.

Solución:

(2x + 3y²)³ =

= (2x)³ + 3·(2x)²·(3y²) + 3·(2x)·(3y²)² + (3y²)³ =

= 8x³ + 36x²y² + 54xy⁴ + 27y⁶

Simplificar la expresión 27x³ + 27x² + 9x +19x² + 6x + 1.

Solución:

Se puede notar que la expresión en el numerador es cubo de una suma descompuesto, y en el denominador es cuadrado de suma

27x³ + 27x² + 9x +19x² + 6x + 1 = (3x + 1)³(3x + 1)² = 3x + 1