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Identidades Trigonométricas.

Identidades Trigonométricas — son expresiones matemáticas que frecuentan para las funciones tigonométicas que se cumplen con todas valores del argumento.



Razones trigonométricas

sen
α
,   
cos
α


tg
α
sen
α
,   
α
≠ 
π
 +
πn
,   
n
є Z
cos
α
2

ctg
α
cos
α
,   
α
π
+
πn
,   
n
є Z
sen
α

sec
α
1,   
α
≠ 
π
 +
πn
,   
n
є Z
cos
α
2

cosec
α
1,   
α
π
+
πn
,   
n
є Z
sen
α


Relaciones básicas

sen2
α
+ cos2
α
= 1

tg
α
· ctg
α
= 1

1 + tg2
α
1
cos2
α

1 + ctg2
α
1
sen2
α


Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

sen(
α
+
β
) = sen
α
· cos
β
+ cos
α
· sen
β

sen(
α
β
) = sen
α
· cos
β
– cos
α
· sen
β

cos(
α
+
β
) = cos
α
· cos
β
– sen
α
· sen
β

cos(
α
β
) = cos
α
· cos
β
+ sen
α
· sen
β

tg(
α
+
β
) = 
tg
α
+ tg
β
1 – tg
α
· tg
β

tg(
α
β
) = 
tg
α
– tg
β
1 + tg
α
· tg
β

ctg(
α
+
β
) = 
ctg
α
· ctg
β
- 1
ctg
β
+ ctg
α

ctg(
α
-
β
) = 
ctg
α
· ctg
β
+ 1
ctg
β
- ctg
α


Razones trigonométricas del ángulo doble

sen 2
α
= 2 sen
α
· cos
α

cos 2
α
= cos2
α
- sen2
α

tg 2
α
2 tg
α
1 - tg2
α

ctg 2
α
ctg2
α
- 1
2 ctg
α


Razones trigonométricas del ángulo triple

sen 3
α
= 3 sen
α
- 4 sen3
α

cos 3
α
= 4 cos3
α
- 3 cos
α

tg 3
α
3 tg
α
- tg3
α
1 - 3 tg2
α

ctg 3
α
3 ctg
α
- ctg3
α
1 - 3 ctg2
α


Identidades para la reducción de exponentes

sen2
α
1 - cos 2
α
2

cos2
α
1 + cos 2
α
2

sen3
α
3 sen
α
- sen 3
α
4

cos3
α
3 cos
α
+ cos 3
α
4


Transformaciones de sumas en productos

sen
α
+ sen
β
= 2 sen 
α
+
β
 cos 
α
-
β
22

sen
α
- sen
β
= 2 sen 
α
-
β
 cos 
α
+
β
22

cos
α
+ sen
β
= 2 cos 
α
+
β
 cos 
α
-
β
22

cos
α
- sen
β
= -2 sen 
α
+
β
 sen 
α
-
β
22

tg
α
+ sen
β
=  
sen(
α
+
β
)
cos
α
· cos
β

tg
α
- sen
β
=  
sen(
α
-
β
)
cos
α
· cos
β

ctg
α
+ sen
β
=  
sen(
α
+
β
)
sen
α
· sen
β

ctg
α
- sen
β
=  
sen(
α
-
β
)
sen
α
· sen
β

a
sen
α
+
b
cos
α
=
r
sen (
α
+
φ
),

где
r
2 =
a
2 +
b
2, sen
φ
b
 , tg
φ
b
r
a


Transformaciones de productos en sumas

sen
α
· sen
β
1(cos(
α
-
β
) - cos(
α
+
β
))
2

sen
α
· cos
β
1(sen(
α
+
β
) + sen(
α
-
β
))
2

cos
α
· cos
β
1(cos(
α
+
β
) + cos(
α
-
β
))
2



Substición trigonométrica universal

sen
α
2 tg (
α
/2)
1 + tg2 (
α
/2)

cos
α
1 - tg2 (
α
/2)
1 + tg2 (
α
/2)

tg
α
2 tg (
α
/2)
1 - tg2 (
α
/2)

ctg
α
1 - tg2 (
α
/2)
2 tg (
α
/2)



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